На рисунке представлена схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, 3, И, К, Л, М. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой.
Сколько существует различных путей из города А в город М, проходящих через город Ж, но не проходящих через город К?
Количество путей до города Х = количество путей добраться в любой из тех городов, из которых есть дорога в Х.
При этом если путь должен не проходить через какой-то город, нужно просто не учитывать этот город при подсчете сумм. А если город наоборот обязательно должен лежать на пути, тогда для городов, в которые из нужного города идут дороги, в суммах нужно брать только этот город.
С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов:
А = 1
Б = А = 1
Д = А = 1
Г = А + Д = 1 + 1 = 2
В = А + Б + Г = 1 + 1 + 2 = 4
Е = Б + В = 1 + 4 = 5
З = В + Г + Д = 4 + 2 + 1 = 7
Ж = В + Е + З = 4 + 5 + 7 = 16
И = Ж = 16 (E и З не учитываем, поскольку путь должен проходить через Ж)
К = И = 16
Л = И = 16
Таким образом, путей, проходящих через город Ж, но не проходящих через город К: М = Л = 16.
Приведем другое решение.
Количество путей из города А в город М, проходящих через город Ж, равно произведению количества путей из города А в город Ж и количества путей из города Ж в город М.
Найдем количество путей из города А в город Ж:
А = 1
Б = А = 1
Д = А = 1
Г = А + Д = 1 + 1 = 2
В = А + Б + Г = 1 + 1 + 2 = 4
Е = Б + В = 1 + 4 = 5
З = В + Г + Д = 4 + 2 + 1 = 7
Ж = В + Е + З = 4 + 5 + 7 = 16.
Ни один из этих путей не проходит через город К.
Из города Ж в город М есть только один путь, не проходящий через город К: Ж—И—Л—М.
Тогда количество путей из города А в город К=М, проходящих через город Ж, но не проходящих через город К, равно 16 · 1 = 16.
Ответ: 16.