На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей, ведущих из города А в город И, проходящих через город В?
Количество путей до города Х = количество путей добраться в любой из тех городов, из которых есть дорога в Х.
При этом, если путь не должен проходить через какой-то город, нужно просто не учитывать этот город при подсчете сумм. А если город, наоборот, обязательно должен лежать на пути, тогда для городов, в которые из нужного города идут дороги, в суммах нужно брать только этот город.
С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов:
А = 1.
Б = А = 1.
Д = А = 1.
Г = А + Д = 2.
В = А + Б + Г = 4.
Е = В = 4 (Б не учитываем, поскольку путь должен проходить через город В).
З = В = 4. (Г и Д не учитываем, поскольку путь должен проходить через город В)
Ж = В + Е + З = 12.
И = Е + Ж + З = 20.
Примечание. Необходимо найти количество различных путей из города А в город И, проходящих через город В.
Приведем другое решение.
Количество путей из города А в город И, проходящих через город В, равно произведению количества путей из города А в город В и количества путей из города В в город И.
Найдем количество путей из города А в город В:
А = 1.
Б = А = 1.
Д = А = 1.
Г = А + Д = 2.
В = А + Б + Г = 4.
Найдем количество путей из города В в город И (при этом В - исходный пункт):
В = 1.
Е = В = 1.
З = В = 1.
Ж = В + Е + З = 3.
И = Е + Ж + З = 5.
Тогда количество путей из города А в город И, проходящих через город В, равно 4 · 5 = 20.
Ответ: 20.