Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 9 № 11022

На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, К, Л, М, Н, П. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой.

Сколько существует различных путей из города А в город П, проходящих через город М?

Спрятать решение

Решение.

Количество путей до города Х = количество путей добраться в любой из тех городов, из которых есть дорога в Х. При этом, если путь не должен проходить через какой-то город, нужно просто не учитывать этот город при подсчёте сумм. А если город, наоборот, обязательно должен лежать на пути, тогда для городов, в которые из нужного города идут дороги, в суммах нужно брать только этот город.

С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов:

А = 1.

Б = А = 1.

Г = А + Б = 2.

Д = А = 1.

В = Б + Г = 3.

Е = Г + Д = 3.

Ж = В + Г + Е = 8.

К = Ж + В = 11.

Н = Д + Ж = 9.

М = Ж + Н = 17.

Л = М = 17 (Ж и К не учитываем, поскольку путь должен проходить через М).

П = Л + М = 34 (К не учитываем, поскольку путь должен проходить через М).

 

Примечание. Необходимо найти количество различных путей из города А в город П, проходящих через город М.

 

Приведем другое решение.

Количество путей из города А в город П, проходящих через город М, равно произведению количества путей из города А в город М и количества путей из города М в город П.

Найдем количество путей из города А в город М:

А = 1.

Б = А = 1.

Г = А + Б = 2.

Д = А = 1.

В = Б + Г = 3.

Е = Г + Д = 3.

Ж = В + Г + Е = 8.

К = Ж + В = 11.

Н = Д + Ж = 9.

М = Ж + Н = 17.

Найдем количество путей из города М в город П (при этом М - исходный пункт):

М = 1.

Л = М = 1.

П = Л + М = 2.

Тогда количество путей из города А в город П, проходящих через город М, равно 17 · 2 = 34.

 

Ответ: 34.

Раздел кодификатора ФИПИ: 2.5.2 Диаграммы, планы, карты.